基于GDOP的K階覆蓋雷達布站優化

　　摘要：無源雷達對目標的探測和覆蓋性能依賴于接收站的幾何布局，因此對接收站位置進行優化是十分必要的。本文以目標定位幾何精度因子(Geometrical Dilution Of Precision，GDOP)作為雷達目標探測性能的衡量指標，綜合考慮對探測目標的覆蓋性能，建立了基于 GDOP 的 K 階覆蓋接收站位優化模型。該模型要求在雷達網絡重點探測區域，目標至少被 K 種最小定位方式以較小的 GDOP 進行定位，從而保證了雷達定位精度和覆蓋性能。本文提出了一種禁忌搜索-模擬退火 (Tabu Search-Simulated Annealing Algorithm，TSSA)算法對該模型進行求解。仿真結果表明，該算法能有效求解所提接收站優化配置問題，并能保證所優化配置的雷達網絡同時具備較高的定位性能和覆蓋性能。

　　關鍵詞：K-覆蓋;禁忌搜索;模擬退火;優化布站

　　李想; 洪升; 屈思宇; 趙志欣， 現代雷達 發表時間：2021-11-26

　　0 引 言

　　無源雷達[1-2]本身不發射電磁波，雷達接收站的位置部署對雷達探測性能有較大影響。雷達優化布站問題是近年來的研究熱點[3]，其本質是以雷達收發站位置為變量對雷達相關性能指標進行優化。接收站優化布置過程中的評判指標主要有兩類形式，一類是以探測性能為指標進行優化，如文獻[4]中以漏警概率作為接收站位置的函數，通過極小化探測區域內的目標平均漏警概率對接收 站 位 置 進 行 優 化 。 文 獻 [5] 以 最 小 化 (Geometrical Dilution Of Precision, GDOP)序列最小值和最大化有效監控區，建立了多基地雷達布站優化模型。文獻[6]中提出了一種基于目標信噪比歸一化的布站方法，克服了平均信噪比方法的缺陷，提高了雷達可探測范圍。另一類以覆蓋性能為指標進行布站優化，文獻[7]考慮了離散目標的覆蓋問題，其中覆蓋優化問題被表述為 p 中心問題模型;并提出了一種隨機 Voronoi 算法來求解。文獻[7-8]主要研究了 1 階覆蓋問題，即要求目標至少被一個雷達單發單收對覆蓋，未曾考慮雷達網絡重點探測區域的 K 階-覆蓋問題。

　　在已有文獻中，研究學者對無源雷達的接收站布置大多單獨以探測性能或覆蓋性能為指標進行優化，極少綜合考慮探測性能指標和覆蓋性能指標進行聯合優化。本文基于 K 階覆蓋的原始涵義，對 K 階覆蓋的概念進行推廣，將目標能被 K 種最小定位方式以較高的定位精度定位稱為 K 階覆蓋。以目標定位精度為雷達網絡探測性能指標，以 K 階覆蓋為雷達網絡覆蓋性能指標，將兩者相結合，提出了基于目標定位精度的 K 階覆蓋站位優化問題。針對該問題，提出了一種禁忌搜索-模擬退火 (Tabu Search-Simulated Annealing Algorithm，TSSA)算法進行求解。最后通過仿真驗證了該方法在求解基于 GDOP 的 K-覆蓋布站優化問題中的有效性。

　　1 信號模型

　　對于雙基地雷達系統，要實現對目標的三維空間定位，最少需要三個距離和的測量值。因此，本文定義由三個距離和測量值對目標進行三維定位的方式為最小定位方式。最小定位方式可以有不同的選擇。這里，以 3 T-R 站型為最小定位方式進行介紹，其他方式可類推。圖 1 給出了一個發射站和三個接收站構成的 3 T-R 站型，假設輻射源 M 、目標 Target 以及接收站 S1、 2 S 、 3 S 的位置坐標分別 為 m m m m ? , , ? T t ? x y z 、 ? , , ? T x ? x y z 、? , , , 1,2,3 ? T i i i i s ? ? x y z i ，目標到輻射源及各個接收站的距離分別為 RMT 、RTS1 、RTS 2 、RTS3，輻射源到各個接收站的距離分別為 RMS1 、 RMS 2 、RMS 3， 1 ?t 、 2 ?t 、 3 ?t 分別為輻射源信號經過目標反射到接收站 S1、 2 S 、 3 S 與信號直接到達接收站 S1、 2 S 、 3 S 的到達時間差。

　　式(1)中， RMSi 通常為一個已知值。因此，式(1)描述了以目標位置為未知變量的橢球方程。對于每個 i ?t ，目標位于以發射站和第 i 個接收站為焦點的橢球面上。目標的最終位置由三個橢球面的交點確定。通過求解方程(1)即可得到目標的坐標。假設目標的位置誤差為 [ , , ]T d dx dy dz x ? ，時差測量誤差為 1 2 3 [ , , ]T d d t d t d t ? ? ? ? ? t ，接收 站 S1 、 2 S 、 3 S 的 站 址 誤 差 為 1 1 1 1 [ , , ]T d dx dy dz s ? 、 2 2 2 2 [ , , ]T d dx dy dz s ? 、 3 3 3 3 [ , , ]T d dx dy dz s ?，輻射源 M 的站址誤差為 m m m m [ , , ]T d dx dy dz t ?，并且各測量誤差以及其誤差分量互不相關。對式(1)兩端求微分有：

　　2 優化模型

　　2.1 K 階覆蓋

　　K 階覆蓋的實際意義在于區域的重點覆蓋。通常，警戒區域內，只需一部雷達探測到目標即可。而在重點防御區域內，要求目標能被至少 K 部雷達進行有效探測，并且一般 K 大于 1。本文借鑒 K 階覆蓋的原始涵義，將 K 階覆蓋的概念進行推廣：以目標的定位精度為雷達網絡探測性能指標，以 K 階覆蓋為雷達網絡覆蓋性能指標，將兩者相結合，提出了基于目標定位精度的 K 階覆蓋站位優化問題。所提出的站位優化模型，能夠保證重點防御區域能被至少 K 種最小定位方式以較高的目標定位精度所覆蓋。

　　2.2 模型建立

　　假設有三個不同發射站和三個接收站對區域內的目標進行定位。為建立基于 GDOP 的 K 階覆蓋模型，本文將三個發射站三個接收站結構，拆分為 3 個 3 T-R 站型的最小定位方式。每一個 3 T-R 站型可以實現對目標的三維定位，并可得到對應的定位精度 GDOP 值。3 個 3 T-R 站型的定位可以得到 3 個 GDOP 值。將重點防御區域進行空間離散，每個離散位置都為目標的潛在位置。假設共離散得到 I 個目標位置。針對第 i ( i I ?1, 2, , )個離散目標位置，可由 3 個 3 T-R 站型進行定位，得到 3 個 GDOP 值，將這 3 個 GDOP 值，列寫一個向量里，可得 ,1 ,2 ,3 [ ] GDOP g g g i i i i ? ， ，，其中 i,1 g 、 i,2 g 、 i,3 g 分別為三個 3 T-R 站型對第 i 個目標點的定位精度 GDOP 值， i,1 g 、 i,2 g 、 i,3 g 詳細求解方法由式(11)給出。若目標的定位精度 GDOP值小于某一門限值?，則認為該目標能被 3 T-R 站型高精度定位到。若第 i 個目標對應的 GDOPi 中至少有 q 個GDOP值小于門限? ，則認為第 i 個目標能夠實現 q 階高精定位。假設三個發射站固定，建立 K 階覆蓋模型對三個接收站的位置進行優化。將第 i 個目 標 位置的 定位精度值向量 ,1 ,2 ,3 [ ] GDOP g g g i i i i ? ， ，中第 K 小的值，稱為 K 階 GDOP 值，表示為 [ ] GDOP Ki 。對所有可能的接收站布站形式進行搜索。在每種可能的接收站布站形式下，計算重點防御空間內所有離散目標位置的 [ ] GDOP Ki ，并將其相加，得到 1 [ ] I i i GDOP K ??。以 1 [ ] I i i GDOP K ??為目標函數，可建立如下站位優化模型：式(12a)為目標函數，優化變量為接收站 S1、 2 S 、 3 S 位置坐標 ' ' ' ' ' , , , 1,2,3 T i i i i ? ? ? ? x y z i ? ? s 。式 (12b)中 i x 表示第 i 個離散目標的三維坐標，表示重點防御區域，也即本文對目標的定位性能評估范圍。式(13a)中? x y z lb lb lb , , ?和? x y z ub ub ub , , ?規定了 中離散目標位置的坐標范圍。式(13b)中 表示接收站的布站區域,? ? ' ' ' lb lb lb x y z , , 和? ? ' ' ' ub ub ub x y z , , 規定了 中接收站位置的坐標范圍。在本文中，可按需構建 K ? 1, 2,3 階覆蓋模型。

　　3 模型求解

　　為求解模型(12)中的優化問題，本文在禁忌搜索 (Tabu Search, TS)算法[9]和模擬退火 (Simulated Annealing, SA)算法[10]基礎上提出了一種全新的禁忌搜索退火算法 TSSA 算法。 TS 算法具有很強的全局搜索能力，引入禁忌表禁止重復前面的工作從而跳出局部最優解。其優點是有非常強的搜索能力，能夠以較少的迭代次數迅速得出最優解的附近解，缺點是到中后期很難進一步減小目標函數值。SA 算法優點是迭代中后期仍擁有較好的爬山能力，缺點是能否最終收斂對初始值的設定有一定的依賴。因此，為充分利用 TS 算法前期的搜索能力和 SA 算法后期的爬山能力，本文考慮提出全新的 TSSA 算法對問題進行求解。 TSSA 算法利用 TS 算法的全局搜索能力以較少的迭代次數迅速得到最優解附近的解，然后將 TS 算法的輸出解作為 SA 算法的初始解，再利用 SA 算法的爬山能力迅速收斂至全局最優解。

　　4 仿真分析

　　假設仿真場景位于 x-y-z 坐標系中，其中三個發射站的空間坐標為 (57km,34km,0.1km)，(12km,-43km,0.1km)， (5km,1km,0.1km)。將重點防御區域定義為? ? ? ? ? { 200km , 200km, 15km} x y z ，將該區域 進行空間離散化，離散分辨率為 5km，每個離散的空間位置為潛在目標位置。接 收 站 的 可 布 置 范 圍 為? ? ? ? ? { 30km , 30km, 0.01km} x y z 。利用所提出的 TSSA 算法對上文模型 (12)進行求解。為驗證所提算法的優越性，將 TS 算法和 SA 算法作為對比算法。三種算法中的具體參數如表 1 所示。表 1 中，T0 為退火初始溫度，T_end 為退火終止溫度，Tubesize 為禁忌表長度，a 為降火衰減參數，Nbhd 為領域解個數，maxgen 為最大迭代次數。

　　4.1 算法收斂性能分析

　　為對不同算法的收斂性能進行分析，圖 3 給出了不同算法在相同初始值下求解 K 階覆蓋站位優化模型的目標函數值與迭代次數之間的關系曲線。將圖中不同算法的求解迭代過程進行比較，發現 SA 算法始終保持下降趨勢，但迭代結束陷入局部最優解，TS 算法和 TSSA 算法收斂速度較快，TSSA 算法的最優解優于 TS 算法的最優解。通過比較可知，TSSA 算法可求得最小的目標函數值，并且算法收斂速度快，效果更好。

　　4.2 算法優化性能對比

　　為評估不同算法求解站位優化問題的最終優化性能，采用兩種性能指標：優化后的目標函數值和 q ? 2 階高精定位覆蓋率進行統計。表 2 給出了 K ? 2 階覆蓋站位優化模型下，不同算法的優化性能。其中 q 階高精定位覆蓋率的計算公式為： length find ? ? ? ? ?? q 100% q p I ? ?? ? α (14) 其 中 ， 高 精 定 位 覆 蓋 率 計 算 門限為? ? 1.2km ;? ? I 1 q ? α ?是由所有 I 個目標的 q 階 GDOP 值構成的一個列矢量，即α q GDOP q GDOP q GDOP q (15) 式(15)中 GDOP q i? ?為 ,1 ,2 ,3 [ , , ] GDOP g g g i i i i ?中第 q 小的元素，函數 find?α ? b?為返回向量 α 中小于門限值 b 的所有元素，函數 length find( ) ? α ? b ?為返回向量 α 中小于門限值 b 的元素個數。

　　表 2 中，對比不同算法優化后目標函數值，可發現，TSSA 算法的目標函數值為三種算法優化后目標函數的最小值。由此可知，本文所提出的 TSSA算法擁有最強的全局最優解搜索能力。對比不同算法優化后的覆蓋率，發現 TSSA 算法的 q ? 2 階高精定位覆蓋率為 95.94%，遠高于其他兩種對比算法。由此可知，本文所提出的 TSSA 算法能更有效地實現對重點防御區域的 q ? 2 階高精度覆蓋。因此，根據不同算法在兩個性能指標上的對比，可知所提的 TSSA 算法明顯優于對比算法。

　　4.3 算法穩定性分析

　　為了驗證算法的穩定性，在 K ? 2 階覆蓋站位優化模型下，進行了 100 次蒙特卡羅 (Monte-Carlo, MC)仿真，每一次 MC 仿真中初始接收站位置是隨機生成的。 圖 4 給出了不同算法優化后在不同次 MC 仿真下的最優目標函數值。圖 4 中，SA 算法波動最大，目標函數最優值分布不均勻;TS 算法和 TSSA 算法有著相對穩定的最優值分布，且 TSSA 算法求得的目標函數最優值總體要優于 TS 算法求得的目標函數最優值。將圖 4 中不同算法的 100 次 MC 仿真最優目標函數值和 q ? 2 階高精定位覆蓋率進行數據統計，統計結果如表 3 所示。由表 3 可知，TSSA 的最優函數值標準差最小為 191.69，SA 為 780.75，說明 TSSA 算法擁有最高的穩定性，SA 的穩定性最差。根據不同 MC 仿真下，最優目標函數值及 q 階高精定位覆蓋的數據統計分析，可知 TSSA 算法的穩定性能均優于其他對比算法。

　　4.4 算法覆蓋性能分析

　　分別針對 K ?1、 K ? 2、 K ? 3 階覆蓋站位優化模型進行站位優化。在每種站位優化模型優化結果下的目標高精度覆蓋性能可由 q 階高精定位GDOP等高圖和 q 階高精定位覆蓋率描述。基于 K 階覆蓋站位優化模型下優化求解出的接收站位置，可計算重點防御區域內所有目標位置的 q 階 GDOP 值 GDOP q i? ? ， i I ? 1, 2, , ，從而得到重點防御區域內目標的 q 階高精定位 GDOP 分布圖，對應地，可得該 q 階 GDOP 分布圖對應的等高線圖。在 q 階高精定位 GDOP 分布圖中，進一步統計 I 個目標中，GDOP 值小于門限值?的目標個數，按照式(15)可計算 q 階高精定位覆蓋率 q p 。圖 5、6、7 給出的高精定位 GDOP 等高圖分別是利用 K ?1、 K ? 2、 K ? 3 階覆蓋站位優化模型下求解得到的接收站位置進行計算得到。其中的子圖(a)、(b)、(c)分別對應著 q ? 1、q ? 2、q ? 3 階高精定位 GDOP 等高圖。

　　在 q 階高精定位 GDOP 等高圖中，每個目標位處的 GDOP 值對應著 GDOPi 中第 q 小的值 [ ] GDOP qi 。對應地，有 [ ] [ [ 1 3 2] ] GDOP GDOP GDOP i i i ? ?成立。因此，將相同階覆蓋站位優化模型下的圖(a)、圖(b) 和圖(c)進行比較，會發現每個目標位置對應的 GDOP 值是逐漸增大的。如果進一步在圖 (a)基礎上統計 1 階高精定位覆蓋率 P1 ，在圖 (b)基礎上統計 2 階高精定位覆蓋率 P2 ，在圖 (c)基礎上統計 3 階高精定位覆蓋率 P3 ，會有 P P P 1 2 3 ? ?，即目標的 q 階高精定位覆蓋率隨著 q 增大而減小。分別針對不同 K 階覆蓋站位優化模型下的圖(a)、(b)、(c)統計 q ? 1、q ? 2、q ? 3 階高精定位覆蓋率，統計結果如表 4 所示。表 4 展示了 K ? 1, 2,3 階覆蓋站位優化模型下的 q ? 1,2,3 階高精定位覆蓋率。由表 4 可知，相同階覆蓋站位優化模型下，即表 4 的每行元素，目標的 q 階高精定位覆蓋率隨著 q 增大而減小，這和上文的分析是一致的。這意味著， q 值越小，被高精度定位的目標個數增多，也即目標的高精度覆蓋性能就越好。

　　相同的 q 階高精定位覆蓋率下，即表 4 的每列元素中，對角線上元素是最大的。比如，第一列為統計 q ? 1 階高精定位覆蓋率，此時， K ?1 階覆蓋站位優化模型下的高精定位覆蓋率為 100%，較 K ? 2 和 K ? 3 階模型下的高精定位覆蓋率分別提高了 0.57%和 1.22%。第二列和第三列亦有著類似的結果。這意味著，K 階覆蓋站位優化模型嚴格保證了 q K?階高精定位覆蓋率達到最優;而其他階覆蓋率不能達到最優。改變門限精度進行仿真，該結論仍然成立。

　　5 結束語

　　本文提出了一種基于 GDOP 的 K-覆蓋優化問題，通過最小化所有目標 K 階 GDOP 值之和來構建目標函數，建立布站優化模型。然后，提出了一種 TSSA 算法對提出的優化問題進行求解。仿真結果驗證了該方法的有效性和優越性。