基于空頻域MIMO波形優化的雷達通信共享系統設計

　　摘要：本文提出了一種基于空頻域波形設計的雷達通信共享系統：即對 MIMO 發射波形在空域和頻域進行優化，利用優化的發射方向圖主瓣實現對目標區域的雷達探測，通過控制通信方位的發射方向圖旁瓣水平以及通信頻帶上的功率譜密度水平來實現通信信息傳輸。為此，在方向圖旁瓣電平、波形功率譜水平、波形恒模等約束下，以發射方向圖的匹配誤差為目標函數，建立了相應的波形優化問題，并采用半正定松弛方法和高斯隨機化方法來求解該問題。文中給出了通信信息的解調過程，且分別驗證了雷達和通信性能。

　　關鍵詞：波形設計;發射方向圖;功率譜密度;雷達通信一體化;半正定松弛; 半正定規劃

　　屈思宇; 洪升; 趙志欣; 葉延恒， 現代雷達 發表時間：2021-11-26

　　0 引言

　　近年來，隨著電磁頻譜機動作戰理念興起，雷達和通信系統對帶寬和頻譜資源的需求越來越高，使得現有雷達與無線通信系統的共存變得越來越[1] 迫切。雷達通信一體化的目的在于實現頻譜資源一體化管理和運用、雷達通信系統協同工作[1-2]。在文獻[3-6]中已提出將通信作為雷達的第二功能。其中，文獻[3]在雷達脈沖中嵌入了隱蔽通信信號;盡管該方法實現了雷達通信系統共享，但在一定程度上會降低雷達性能。文獻[4]中提出了一種使用時間調制陣列(Time-Modulated Array，TMA)來實現雷達通信共享的方法。在使用時間調制發射陣列保證主瓣發射功率的同時，對通信方向的旁瓣電平水平 (Sidelobe Levels，SLLs)進行調制，以保證雷達通信功能共享。然而，使用時調陣列設計形成具有相同主瓣的多個發射方向圖相對來說較為困難，因其涉及高維度非線性優化問題，會導致對計算量要求過大。在文獻[5]中，作者提出了一種在 MIMO 模式中進行聯合雷達通信的技術，通過優化發射加權矢量，控制發射方向圖的旁瓣實現信息嵌入。由于該方法僅優化加權矢量，未優化發射波形，方向圖控制自由度受限;并存在發射波形峰均比較高的問題。

　　本文提出了 一種通過在 空域和頻域 設計 MIMO 雷達波形以實現雷達通信功能共享的新方法。通過設計 MIMO 雷達波形，使得實際發射方向圖逼近期望發射方向圖以確保雷達的有效探測。在實現通信功能方面，將對通信方向上發射空域方向圖的旁瓣電平以及通信頻帶上頻譜功率的控制作為約束條件從而實現通信信息的傳輸。在通信接收端，接收器根據在通信角度的方向圖和通信頻帶上的頻譜功率水平，來解調出通信信息“0”或“1”。為實現對發射方向圖的空域控制和頻譜功率的頻域控制，建立了相應的波形優化問題。進一步地，為求解該優化問題，首先將波形的恒模約束轉化為秩為 1 的約束;然后利用半定松弛(Semidefinite Relax, SDR)方法[7]將優化問題轉化為半定規劃(Semidefinite Program, SDP)問題[8]，利用凸優化工具箱進行求解;最后，利用高斯隨機化特征分解 [9]來恢復出波形序列。此外，本文給出了具體的通信信息解調過程，仿真結果從發射方向圖對期望方向圖的逼進程度驗證了雷達性能，根據通信星座圖和誤碼率評估了通信性能，從而驗證了所提方法的有效性。

　　1 基于雷達通信共享的波形設計

　　本文提出的雷達通信共享方案的主要思想是在不影響雷達探測性能的情況下將通信信息嵌入到空域發射方向圖和頻域功率譜中。因此，一方面，需要確保發射方向圖與期望的雷達方向圖相匹配。另一方面，為了實現通信信息的嵌入，需要控制通信方向上發射方向圖的旁瓣水平和通信頻帶上的頻譜功率水平。

　　1.1 基于雷達功能的波形設計

　　假設 MIMO 雷達中發射陣列為包含 M 個天線的均勻線陣，陣元間距為 d / ? ? 2 ，?表示發射波長。假定第 m 個發射波形為 ( ) m s n ， m M ?1,2,..., ， n N ? 1,2,..., ，N 為每個發射脈沖的采樣數，則發射波形矩陣可表示為? 1 2 , ,..., ? T M N M C ? S s s s ? ? 。基于發射波形 S ，MIMO 雷達發射方向圖可表示為: 1 ( )= ( ) ( )) H H P N ? ? ? a SS a (1) 其中 2 sin( ) 2 (M 1) sin( ) ( ) 1, ,..., T d d j j e e ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? a 為發射導向矢量，?. , . ? ? ? T H 表示轉置和共軛轉置。為了實現雷達對目標區域的有效探測，將期望的雷達發射方向圖描述為： 1, 0, m d s P ??? ? ?? ?? ? ? (2) 其中?m 為目標分布區域，即方向圖的主瓣區域;?s 為方向圖的旁瓣區域。為實現有效目標探測，需要將發射能量集中在目標區域;而將非目標區域的能量最大程度地降低。為此，需要盡可能地降低發射方向圖的旁瓣水平。

　　為了實現期望方向圖，對 MIMO 發射波形進行優化，使得到的發射方向圖逼近雷達期望方向圖 [10]。這里，利用二者的匹配誤差作為衡量雷達性能的指標，該匹配誤差可表示為 2 1 1 ( ) ( ) ( ) L H H s d l l l l E P N ? ? ? ??? ? ? a SS a (3) 其中 l ?是整個空間 [ , ] 2 2 ?? ?? ?的 L 個離散角度點，?為尺度因子。以 MIMO 發射波形為優化變量，以匹配誤差為目標函數，以發射波形的恒模特性和功率大小為約束[11]，可以建立以下優化模型： 2 , 1 1 min ( ) ( ) ( ) L H H d l l l l P ? N ? ? ? ??? ? S a SS a (4a)s.t. diag( ) / H SS ? E M (4b) S( , ) / m n E MN ? (4c) 其中 E 代表發射信號的總功率， diag( ) A 表示取矩陣 A 的對角線元素，目標函數為綜合方向圖與期望方向圖之間的匹配誤差，第一個約束條件表示限制每個發射陣元的功率，第二個約束條件為發射波形的恒模約束。

　　波形矩陣 S 的優化問題(4)是一個非凸問題，為了利用凸優化工具箱進行高效求解，這里對目標函數和約束進行變換，以便將問題(4)轉換為凸問題。具體地，MIMO 雷達發射方向圖可等效表示為 H ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vec( ( ) ) vec( ( ) ) ( ( )vec( )) ( ( )vec( )) vec( ) ( ) ( )vec( ) ( ( ) ( )) ( ) tr( ( ) ) H H H H H H H H N N H H N N H H N H P ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ?? ?? ? a Ra a SS a a S a S I a S I a S S I a I a S x I a a x x V x V X (5) 其中 x S ? vec( ) ， H X xx ? ， ( ) ( ( ) ( )) H V I a a ? ? ? ? ?N 式 (5) 的推導利用了矩陣運算等式 vec( ) ( )vec( ) T ABC C A B ? ?和 ( )( ) ( ) ( ) A B C D AC BD ? ? ? ? 。 vec( ) A 表示將矩陣 A 拉直為列向量。將式(5)代入到問題(4)中，問題(4)可重新表示為 2 , 1 min ( ) tr( ( ) ) L d l l l P ?? ? ??? ? X V X (6a) s.t. diag( ) / X ? E MN (6b) rank( ) 1 X ? (6c) X ? 0 (6d) 經過變換，優化變量從 S 變化為 X 。問題(6)中的第一個約束(6b)等效于問題(4)中的總功率約束 (4b)，第二個約束(6c)等效于問題(4)中的恒模約束 (4c)，第三個約束(6d)保證變量矩陣 X 為半正定矩陣。通過約束的等效變換，波形 S 的橫模約束轉換成了矩陣 X 的秩 1 約束。變換后，除了非凸約束 (6d)，問題(6)成為一個半正定規劃 SDP 問題。

　　1.2 基于通信功能的波形設計

　　在保證雷達功能的基礎上，本文利用發射波形對通信信息進行調制。具體地，將通信信息調制在發射方向圖旁瓣和波形的頻譜上，以通信角度的發射方向圖旁瓣水平和通信頻帶上的功率譜水平來判定傳輸何種通信信息。

　　1.2.1 發射方向圖旁瓣水平控制

　　本文提出在通信方向上的發射方向圖旁瓣處形成一個零陷。通信接收器將在該方向檢測信息;如果不存在零陷，則可以將發送的信息位檢測為 “1”，否則，可以將發送的信息位檢測為“0”。為了實現此目的，將通信方向 c ?上的發射方向圖的功率[12]限制為小于一個較小的門限值 EP ，可以寫成 P( ) ( ) ( ) H H ? ? ? c c c P ? ? a SS a E (7) 利用式(5)的化簡方法，約束(7)可等效化簡為 P( ) tr( ( ) ) ? ? c c P ? ? V X E (8)

　　1.2.2 頻譜功率水平控制

　　為進一步提高通信速率，進一步在發射波形功率譜密度上通信頻帶處的形成一個頻域零陷。通信接收器將在通信頻率處檢測信息。如果不存在零陷，則可以將發送的信息位檢測為“1”，否則，可以將發送的信息位檢測為“0”。為了實現此目的，將通信頻帶? ? c ? f f 1 2 , ?上的功率限制為小于一個較小的門限值 EJ 。基于離散傅里葉變換，第 m 個陣元發射信號的功率譜密度[13] 為 2 1 2 0 ( ) ( )e N j fn m m n S f s n ????? ? (9) 第 m 個陣元的發射信號在頻帶? ? c ? f f 1 2 , ?上的發射功率為 2 1 ( ) f H m m J m f S f df ? ? s R s (10) 其中 2 1 ? ? 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( , ) ( , ) 1,..., 2 ( ) j p q f j p q f J f f p q p q p q N e e p q j p q ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? R (11) M 個陣元發射信號在頻帶? ? c ? f f 1 2 , ?上的總發射功率為 1 M H m J m m??s R s 。將通信頻帶上的功率限制為小于一個較小的門限值 EJ ，可表述為 1 M H m J m J m E ??s R s ? (12) 利用式(5)的化簡方法，約束(12)可等效化簡為 1 tr( ) M H m J m J J m E ??s R s R X ? ? (13) 其中 R R I J J M ? ? 。

　　為在傳統雷達功能基礎上加上通信功能，在式 (6)優化模型中，添加式(8)和式(13)作為約束，可以得到聯合優化模型為 2 , 1 min ( ) tr( ( ) ) L d l l l P ?? ? ??? ? X V X (14a) s.t. diag( ) E MN X ? (14b)rank( ) 1 X ? (14c) X ? 0 (14d) tr( ( ) ) V X ?c p ? E (14e) tr( ) R XJ J ? E (14f) 由于秩為 1 約束條件會導致問題(14)為非凸問題。這里采用半定松弛(SDR)方法, 放松秩為 1 的非凸約束條件，然后將問題(14)改寫為 2 , 1 min ( ) tr( ( ) ) L d l l l P ?? ? ??? ? X V X (15a) s.t. diag( ) E MN X ? (15b) X ? 0 (15c) tr( ( ) ) V X ?c p ? E (15d) tr( ) R XJ J ? E (15e) 問題(15)是一個凸問題，可利用 CVX 工具箱 [14]進行求解。通過求解問題(15)，可獲得最優協方差矩陣? X 。然后必須從? X 中恢復出波形矢量? x ，然后通過反拉直處理從? x 恢復出最優的發射波形矩陣? S 。但是，由于實際獲得的矩陣? X 的秩通常大于 1，不能通過特征分解直接得到波形矢量? x 。于是，考慮使用高斯隨機化方法來獲得波形矢量? x 。高斯隨機化方法的步驟為：首先，隨機產生 K 個隨機向量 1 2 , ,..., x x xK ，且 K x 服從均值為 0 方差為? X 的復高斯正態分布;然后，對每一個向量 K x 計算代價函數即 2 , 1,2,..., H k k k ? k K ?? ? ? X x x (16) 最后，選取使?k 最小所對應的隨機向量 k x 作為波形矢量，用來恢復波形矩陣? S 。

　　2 通信信息的調制與解調

　　2.1 通信信息的調制

　　假設在每個雷達脈沖內，由“1”和“0”組成的 2Q 位 信 息 表 示 為 二 進 制 序 列 B B q q 2 1 。 令 1 ( ) [ ( ),..., ( )] Q ? ? ? t t t ?為發射正交波形的矢量，其中 t 表示快時間指數。碼元 B q1 表示在通信方向上發射方向圖旁瓣水平情況;碼元 B q 2 表示在通信頻帶上頻譜功率水平情況。

　　2.1.1 空域調制

　　假設空域通信方向為 c ?，通過判斷在 c ?處的發射方向圖形成零陷的情況，來傳輸二進制碼元 B q1。碼元 B q1 嵌入表達式為 q1 q1 q1 (1 )tr( ( ) ) (1 ) '0' or '1' B B E B c P ? ? ? ? V X ? (17) 當 1 0 B q ?時，在通信角度 c ?處形成一個大小為 EP 的零陷;當 1 1 B q ?時，在通信角度 c ?處沒有零陷產生。

　　2.1.2 頻域調制

　　假設通信頻帶范圍為? ? c ? f f 1 2 , ?，通過判斷在? ? c ? f f 1 2 , ?處的功率形成零陷的情況，來傳輸二進制碼元 B q 2 。碼元 B q 2 嵌入表達式為 q2 q2 q2 (1 )tr( ) (1 ) '0' or '1' ? ? ? ? B B E B R XJ J (18) 當 2 0 B q ?時，在通信頻帶? ? c ? f f 1 2 , ?處形成一個大小為 EJ 的零陷;當 2 1 B q ?時，在通信頻帶? ? c ? f f 1 2 , ?處沒有零陷產生。

　　2.2 通信信息的解調

　　通信接收端所接收的信號為? ? 2 ( ) ( ) d j f t m y t s t e z t ?? ? ? ? (19) 其中?為信號的時延， d f 為信號的多普勒頻移， zt() 為信號的加性高斯噪聲。接收端信號的解調流程如圖1所示。首先，對接收信號進行時延補償和多普勒頻移補償;然后，分別計算發射方向圖和功率譜密度;最后，在通信方向和通信頻帶處進行信息解調。

　　2.2.1 時延估計和補償

　　本文采用頻域補償法[15]，對接收信號進行匹配濾波，估計回波時延? ˆ ，然后在頻域補償時延，時延補償系統中的具體補償模型如圖2所示。為防止寬帶信號發生畸變，要求時延補償系統的時延必須為常數，與頻率不相關，時延補償系統的傳遞函數為 ˆ ( ) jw jw H e e m ?? (20) 圖2 時延補償模型接收信號經過時延補償后得到? ? ' 2 ( ) ( ) d j f t m m y t s t e z t ?? ? ? ? ? (21) 其中，? ? ? ? ? ? ˆ 表示時延補償殘余，理想情況下，可認為? ? ? 0 。 2.2.2 多普勒頻移估計和補償可利用FFT估計雷達多普勒頻率[16]，即對接收信號進行離散傅里葉變換，利用最大譜線位置求出多普勒頻移 ˆ d f 為? ?? ? ' ' 1 Im( ) ˆ [ ] ( 1) Re( ) T m T d s s m T k Y k f arctan NT N T ? Y k ? ? ?? (22) 其中 T k 為最大譜線位置， T s 為采樣周期， N 為采樣點， ' Y m 為接收信號 ' m y 的傅里葉變換。接收端估計得到最大多普勒頻率偏移值后，反饋多普勒估計值到信號，以補償信號的多普勒。通常的補償策略是使用估計值在時域中進行補償。

　　假設準確估計得到最大多普勒頻移為 ˆ d f ，令 ˆ 2 ( ) d j f t d t e? ??，對式(21)進行多普勒補償，可得? ? ' ' ' 2 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) d d m m j f t m j f t m d y t y t d t s t e z t d t s t e z t ??????? ?? ? ? ? ?? ? ? ? (23) 其中 ˆ d d d ? ? ? f f f 表示多普勒補償殘余，理想情況下，可認為? ? f d 0 ; () d z t 是補償后的噪聲分量，具體的多普勒補償模型為圖3所示。圖3 多普勒頻移補償模型

　　2.2.3 空域解調

　　對式(23)中補償后的接收信號 ' ' m y 進行時域采樣，假設共有 N 個采樣值，可得到第 m 個天線發射的信號序列 ' ' ' ' ' ' [ (0), (1), , ( 1)]T m m m m y ? ? y y y N 。因此 M 個 陣 元 對 應 的 發 射 信 號 矩 陣 為 1 2 [ , , , ]T Y y y y ? M 。利用補償得到的發射信號矩陣 Y ，可恢復得到發射方向圖為： 1 ( ) ( ) ( ) H H P N ? ? ? ? ? a YY a (24) 根據式(24)，可計算在通信角度上的方向圖功率水平，即 ( ) P c ? ? ?? (25) 然后，通過門限檢測可得 ~ 1 1 1 1, if 0, if q T B T ??? ? ?? ?? ? ? (26) 其中 T1 是設定的檢測門限值。 2.2.4 頻域解調對于處理后的接收信號，計算其功率譜密度。接收信號在通信頻帶? ? c ? f f 1 2 , ?上的功率可表示為 2 1 2 1 ' ' 2 1 0 ( )e M N f j fn m f m n y n df ????? ?? ? ? ? (27) 然后，通過門限檢測可得 ~ 2 2 2 1, if 0, if q T B T ??? ? ?? ?? ? ? (28) 其中 T2 是設定的檢測門限值。

　　3 實驗仿真

　　假設發射天線為 M ?10 個天線組成的間隔為半個波長的均勻線性陣列。每個陣元發射波形碼長為 N ?16 ，每個陣元發射信號的中心頻率為 0 f ? 5GHz ，信號帶寬為 B ?10MHz ，雷達總發射功率 E ?1 。假設整個空域為? ? ? ? ? ? 90 ,90 ?，感興趣目標空域為? ? ? ? ? m ? 20 ,20 ?，旁瓣空域為? ? ? ? ? ? ? ? ? s ? 90 , 20 20 ,90 ? ? ?，空間的離散點間隔為 1? 。

　　假設通信方位在 46 ?c ? ?處，通信頻帶為歸一化頻帶? ? c ?0.4,0.6?;并設置發射方向圖在通信角度的零陷深度為 40 E dB P ? ?，在通信頻帶內設置零陷深度 30 E dB J ? ?。通過本文方法優化得到的發射波形所對應的歸一化發射方向圖如圖4所示。圖中紅色帶星號標記的實線所對應的優化方向圖代表著模式1，即傳遞的是通信碼“1”;藍色帶圓圈標記的實線所對應的優化方向圖代表著模式2，即傳遞的通信碼“0”。通過選擇發射模式1對應的波形即可傳輸“1”碼元;通過選擇發射模式2對應的波形即可傳輸“0”碼元。模式1中，在通信方位 c ?的方向圖功率水平為-20.30dB。模式2中，在通信方位? c 處形成了發射方向圖零陷，零陷深度為-46.66dB。這驗證了本文優化方法的有效性;同時也表明了，通過零陷控制，可將通信信息嵌入到MIMO雷達波形中。圖4優化得到的兩種發射方向圖在主瓣區域基本類似，這表明，旁瓣零陷傳遞通信信息的方式，對目標區域的雷達探測性能基本沒有影響。

　　求出優化得到的兩種波形的功率譜分布圖，如圖 5 所示。圖中，紅色帶星號標記的實線所對應的波形功率譜代表著模式 1，即傳遞的是通信碼“1”;藍色帶圓圈標記的實線所對應的波形功率譜代表著模式 2，即傳遞的是通信碼“0”。模式 1 中，在通信頻帶? c 位置的功率譜水平為-5.97dB。模式 2 中，在通信頻帶? c 位置形成了零陷，零陷深度為28.20dB。驗證了本文算法的有效性，同時，表明，可以通過頻域零陷控制，將通信信息嵌入在雷達波形中。與此同時，在通信頻帶的頻域零陷形成也大大降低了傳統通信信號對雷達系統的干擾。圖6(a) 理想情況下數據接收星座圖圖 6(b) 實際情況下數據接收星座圖對于理想和非理想兩種情況下的通信星座圖如圖 6 所示。理想情況為：假設信號的時延和多普勒補償理想，不存在補償殘余。非理想情況為：假設信號的時延和多普勒補償不理想，存在補償殘余。非理想情況下假設時延補償誤差 3 ? 5 10 μs ? ? ? ?為 1/10 脈 沖 周 期 ; 多 普 勒 補 償 誤 差 的 頻 率 為?f B d =0.2 。圖 6(a)給出了理想情況下的星座圖;圖 6(b)給出了實際情況下的星座圖。圖中，對于發送的“00”，“01”，“10”和“11”四種類型的碼元，黑點表示傳輸前的碼元信息，虛線表示檢測閾值。將每種碼元解調后的結果用綠點表示，每種碼元情況進行了 50 次隨機仿真處理。由圖可知，本文所提方法可較好地對通信數據進行解調。

　　對于理想和非理想兩種情況下的通信星座圖如圖 6 所示。理想情況為：假設信號的時延和多普勒補償理想，不存在補償殘余。非理想情況為：假設信號的時延和多普勒補償不理想，存在補償殘余。非理想情況下假設時延補償誤差 3 ? 5 10 μs ? ? ? ?為 1/10 脈 沖 周 期 ; 多 普 勒 補 償 誤 差 的 頻 率 為?f B d =0.2 。圖 6(a)給出了理想情況下的星座圖;圖基于所建立的雷達通信共享系統，對通信功能的誤碼率特性進行分析。通過傳輸 5 10 個符號(每個 2 位)對通信誤碼率進行測試。考慮兩種情況：理想情況和非理想情況。得到兩種情況下，誤碼率與信噪比的關系曲線如圖 7 所示。圖中，紅色帶星號標記的實線所對應著非理想情況的誤碼率曲線;藍色帶圓圈標記的實線所對應著理想情況的誤碼率曲線。由圖可知，通信的誤碼率隨著信噪比的增加而降低。理想情況下的誤碼率低于非理想情況的誤碼率。即使在非理想情況下，系統的通信誤碼率也可達到 4 2 10??;表明即使在非理想情況下，系統也能以較小的誤碼率進行通信數據傳遞。

　　4 結論

　　本文提出一種基于空頻域波形設計的雷達通信共享系統新方法。為了實現通信信息的嵌入，對通信方位發射方向圖的旁瓣水平和通信頻帶功率譜密度水平進行控制。具體而言，接收器根據在通信角度的方向圖和通信頻帶上的頻譜功率水平，將與某個波形相關的位解調為“0”或“1”。為實現該目的，本文對發射波形進行了優化，采用凸優化方法對優化問題進行求解。仿真表明，所提方法在保證雷達功能的同時，在雷達波形中實現了通信信息的嵌入。通過對誤碼率和通信星座圖性能的仿真分析，驗證了系統通信性能。