基于偏微分的非線性代數方程組并行模型設計

　　摘 要：目前提出的非線性代數方程組并行模型運算成功率較低，導致其搜索速度較慢。為了解決上述問題，設計了基于偏微分的非線性代數方程組并行模型。該模型的設計核心是引入偏微分算法調用傳統的非線性代數方程組，從而構建非線性代數方程并行算法;然后在去噪處理的基礎上，建立數據通道，通過數據通道篩選問題數據，利用迭代算法實現并行運行，從而得到最終基于偏微分的非線性代數方程組的并行模型。實驗結果表明，設計的模型能夠有效提高運算成功率，加快搜索速度。

　　關鍵詞：并行模型;偏微分方程;非線性代數方程組;并行運算;數據去噪;數據篩選

　　種孝文;現代電子技術;2021年 11月 1日第 44卷第 21期

　　0 引 言

　　非線性代數方程組并行模型的工作是在并行機上完成大規模的數據計算。非線性代數方程組可以解決計算機校驗、圖像切割、數據分析、項目工程等相關領域的問題[1?2] 。為了提高非線性代數方程組的計算精度并簡化方程組計算的復雜度，本文設計了基于偏微分的非線性代數方程組并行模型。由于并行計算機的處理對象具有規模大、復雜度高的特點，考慮到以上因素，本文通過降噪算法完成對傳統非線性代數方程組的優化。另外，該方程組并行模型還融合了多分裂迭代算法和偏微分方程，有效降低了模型計算過程的復雜度，達到了提高模型計算精度的目的。

　　1 非線性代數方程組并行模型設計

　　1.1 并行算法思路設計

　　在設計并行算法時，首先檢索待計算的數據庫，對內部的數據進行預處理，轉變數據格式，處理公式如下： ? = φ ( 1 - D ) (1)式中：?表示預處理后的數據;D表示當前時刻所屬數據庫內部數據的水平集合;φ表示檢索數據的梯度算子[3?4] 。

　　數據并行運算過程如圖 1所示。

　　根據初始化操作完成對數據的預處理，然后根據數據規模和計算類型選擇對應的權函數。權函數的作用是平衡迭代計算過程中模型計算的誤差，并且確定數據計算任務的核心關聯量。在確定數據的核心關聯量后，隨之確定數據整體關聯量的迭代下降流，計算公式如下： P =∑i = 1 n φi δ × r (2)

　　式中：δ 表示數據庫內數據流的約束分子;r 表示數據的字節數[5?6] 。

　　然后對內部有效數據進行關聯切割。非線性代數方程組并行算法的切割原則是隨機組合數據關聯度最小的三個數據分子[7?9] 。為了降低算法的誤差，本文通過數據能量函數計算數據關聯系數。關聯切割過程如圖 2所示。

　　在此基礎上，結合波前控制算法，將切割處理好的數據塊重新構成一個可調用分解的數據體系，該過程計算公式如下： f ( x ) = y? p ×∑i = 1 n φi ? × k (3)式中：y表示數據邊緣算子;? 表示拉普拉斯算子;k表示數據集成的高斯運算積[10?12] 。

　　并行數據如圖 3所示。

　　相對于上述傳統的并行計算過程，非線性代數方程組并行算法的優點是：在處理相同規模的數據時，并行模型可以在一定程度上減少數據計算過程的負載和開銷，保證模型的計算能力。將預處理后的數據在非線性代數方程組并行模型上模擬分布，一旦矩陣的絕對對角數值為 0 時，則并行模型的迭代分量無需另行計算，直接代入設定值 1 即可。這種做法可以節省計算時間、提高計算效率。

　　1.2 并行數據去噪處理

　　對并行數據實施去噪處理的目的是：在提高數據精度的同時，保證數據處理的有效性。因為去噪過程具有數據還原性和數據銷毀性，因此這一運算流程是不可逆的，但是在最初模型數據錄入時存在數據備份，因此不需要擔心流程誤操作造成的影響。

　　數據去噪處理過程如下： N = F ( ) u + f × l A (4)式中：N 表示去噪后的數據;F 表示數據的權重系數;u 表示非線性方程組并行模型的光滑數據項;A 表示非負非減函數;l表示數據塊的序列號。

　　本文設計的數據去噪算法不僅有效地消除了冗余數據，同時也避免了模型在處理數據過程中因出現格式錯誤而終止模型計算的情況。數據處理過程如圖 4所示。

　　1.3 四階偏微分方程分析

　　由于弧度數據降噪的總變數總是比直線無噪數據的總變數大。因此，基于偏微分的非線性代數方程組并行模型可表示為以下優化問題： E = ∫ l = 1 n Nuldu u (5)式中：n表示數據塊數量;u表示數據計算閾值。

　　基于此，隨著計算次數的增加，非線性代數方程組并行模型能夠達到最大去噪標準[13] 。在這一過程中，研究發現在數據波動情況較為平坦的區域中，方程的擴展性能會增強，其可將數據亂碼的區域擴展成平滑區域，從而提高多個數據節點集成為一個整體的數據切割塊過程中的轉變效果。在越平坦的區域上，數據擴展態勢也會越強烈，最終使所有數據都轉化成片段式的常數區域，這時數據切割塊中的各個數據節點都具有獨立性，并且數據塊邊緣的數據節點也具有完整性[14?15] 。

　　綜上所述，本文設計的非線性代數方程組并行算法可以成功地降低數據噪聲信息并實現減噪最大化。但其缺點在于數據降噪過程中可能出現過度擴展情況，且數據被切分為非常小的結構體，增加了數據融合計算的復雜度，從而產生“弧度效應”，為此，本研究設計了一個四階偏微分方程來消除“弧度效應”帶來的影響。

　　1.4 并行模型的實現

　　在上述研究的基礎上，設計如下并行模型的實現過程。為了將偏微分方程與非線性代數方程組并行算法的集成契合度最大化，本研究規定基于偏微分的非線性代數方程組并行模型的并行差分格式如下： A = [ A1B1 × C1 ] × b49 (6)式中：A1B1 表示 50×50 階對角陣;C1 表示 50×50 階三角對角陣;b49表示 50×50矩陣庫。

　　因為非線性代數方程組并行模型需要對數據塊進行切割處理，切割過程中只是保證了單位數據的完整性，卻忽略了待計算數據的有效性。因此，上述規定的基于偏微分的非線性方程組并行差分格式重新制約了被切割數據的有效性，從而有效保證計算結果的精度。模型矩陣內的所有數據序號按照切割順序排列即可。根據上文提到的相關算法，總結出基于偏微分的非線性代數方程組的并行模型計算流程如圖 5所示。

　　步驟 1：對待計算的數據進行初始化處理，輸出一系列有效的數據，然后利用非線性代數方程組并行算法對所有的數據進行切割分類操作。

　　步驟 2：對經切割得到的小數據包進行降噪分析，過程中會舍棄部分失效的數據節點，處理完成后，再重建數據并補錄到非線性代數方程組并行模型內。

　　步驟 3：調用偏微分方程，檢驗模型內部的數據是否具有收斂特性。如果具有收斂特性，則停止處理，按照計算任務處理模型內的數據，輸出結果即可;如果模型內的數據不具備收斂特性，則重復步驟 1，直至最終模型內的數據全部具有收斂性特征，輸出計算結果，并行模型完成計算任務。

　　2 實驗與研究

　　為了檢驗上述設計的基于偏微分的非線性代數方程組并行模型的實際運算能力，設計了如下對比實驗。利用本文模型與傳統基于擬牛頓法的并行模型和基于粒子群算法的并行模型同時針對同一非線性代數方程組進行分析計算，記錄三種模型在運算過程中的搜索次數，并計算出各自的運算成功率，進而能夠更加科學地分析出三種模型的計算準確度和運算效率。

　　將同一組非線性代數方程組導入到運算模型程序中，數據經過變換處理，得到對應的負常曲率的曲面，根據得到的曲面進行變換求解。導入的非線性方程組如下： ì í ? ? ? ? ? ux + uy = sinh u sinh u = eu - e-u 2 ux + uy = v x v - v2 x + v y v - v2 y v 2 (7)首先，將方程和存在未知函數的部分進行轉化，使其轉化為含有未知函數的等價多項式非線性方程： v x v - v2 x + v y v - v2 y v 2 = v - 1 v 2 (8)然后，根據平衡原則對其進行展開，得到含有未知函數的非線性方程解的表達式： 2v x v - 2v2 x + 2v y v - 2v2 y + v - v 3 = 0 (9)對上述表達式進行求約化解，經過多次搜索運算得到多個方程組精確解的函數表達，然后借助波形函數模型構建程序，通過求解運算得到方程組精確解的最終結果。為了進一步提高計算的精準度，可以加深運算的程度，增加求解的運算搜索次數，使計算結果更加精確。三種模型的運算成功率對比結果如圖 6所示。

　　如圖 6所示，相比于傳統模型來說，本文模型采用的偏微積分算法的成功率更高。在運算搜索次數為 50 次時，本文模型的計算成功率已超過 90%，而此時基于擬牛頓法的并行模型的計算成功率大約為 76%，而基于粒子群算法的并行模型的計算成功率在 64% 左右，由此可見本文模型的運算精準度更高，運算分析的穩定性、安全性更強。三種模型的運算搜索速度對比結果如圖 7所示。

　　從圖 7 可以看出，本文模型比傳統模型的計算速度更快。根據圖 7 中顯示的數據可知，在相同的運算時間內，本文模型進行了更多次數的搜索和運算，在 0.4 s 時，本文模型已經進行了 40 次左右的運算搜索，而此時基于擬牛頓法的并行模型的搜索次數大約是 28 次，粒子群算法的并行模型的搜索次數更少，只有 19次左右。

　　由此可見，本文設計的基于偏微分的非線性代數方程組并行模型具有更快的計算速度和更高的運算精準度，能夠提高非線性代數方程組并行求解的運算成功率，從而促進整體運算工作效率的提高。由此可以證明，本文模型在目前的非線性代數方程組求解運算方面具有更強的競爭優勢，有利于促進大數據運算處理技術的進一步發展。

　　3 結 語

　　在對基于微偏分的非線性代數方程組并行模型進行降噪處理時，面臨的難點不僅僅是處理數據的邊緣性，還有數據錯誤冗余的問題。將不具備正常格式的數據直接銷毀，既可以減少模型的計算量，又提高了模型的計算精度。經過實驗證明，本文設計的基于偏微分非線性代數方程組并行模型可以提高計算機的處理速率，相信以本文的論證作為研究基礎，結合實時的數據計算算法，能夠在一定程度上促進非線性代數方程組并行模型的發展。